Hopalong‐Schale

Ich habe mich heu­te wie­der ein biss­chen mit der Direkt‐Colouring‐Methode in Ultraf­rac­tal (UF) beschäf­tigt. Das spe­zi­el­le Frak­tal »Pixel« defi­niert die gesam­te Flä­che einer Ebe­ne als »Out­si­de«, d. h. ich kann mit den »Colo­ring For­mu­las«, das sind for­mel­ba­sier­te Shader, auf der gan­zen Flä­che arbei­ten. Mei­ne Wahl in der Über­sicht fiel auf den Hopalong‐Algorithmus von Ron Bar­nett (obsolete.ucl, ist bei UF ent­hal­ten), der netz­ar­ti­ge Mus­ter aus­bil­det und dafür 3 Para­me­ter braucht: a, b und c, wel­che die Aus­bil­dung der Struk­tur beein­flus­sen. Im Bild gibt es über­ein­an­der lie­gend 3 Ebe­nen mit dem glei­chen Algo­rith­mus aber ange­pass­ten Wer­ten:

Hin­ter­grund: a = -4.52684, b = 0.80867, c = 0
Lay­er 1: a = -4.47901, b = 0.80867, c = 0
Lay­er 2: a = -4.47901, b = 1.04784, c = 0

Die Ebe­nen Lay­er 1 und 2 sind auf »Ligh­ten« gestellt. Gefun­den habe ich die Wer­te nach ästhe­ti­schen Gesichts­punk­ten, das ist wie model­lie­ren.

Was macht der Hopalong‐Attraktor? (hehe, tol­ler Name. Klingt chi­ne­sisch, ist aber wohl eng­lisch: hop along. her­um­hüp­fen.) Das stel­le ich mir so vor:

Erst­mal wer­den zufäl­lig wei­ße Flö­he auf die schwar­ze Bild­flä­che geschos­sen. Jeder Ein­zel­ne fängt beim Auf­tref­fen an, sei­ne Koor­di­na­ten x und y auf dem Bild zu ermit­teln und damit wild zu rech­nen:

x’ = y — Vorzeichen(x) * Wur­zel( |b * x — c| )
y’ = a — x.

Zu x’, y’ hüpft der Floh, dann ist x = x’ und y = y’ und star­tet erneut zum Sprung. Das machen die Flö­he wie­der und wie­der, solan­ge, bis sie ent­we­der von der Bild­flä­che gehüpft sind oder eine gewis­se Anzahl Sprün­ge gemacht haben. Bei jedem Sprung wird die ursprüng­lich schwar­ze Flä­che hel­ler, denn die Flö­he fär­ben ab. Da wo die Tap­sen sich häu­fen, zeich­net sich also die Flä­che des Attrak­tors ab, also die Häu­fung der Auf­ent­halts­or­te.

Wie man sieht, sowohl x und y als auch a, b und c gegen­ein­an­der. Der Attrak­tor ist die Flä­che, wo alle Para­me­ter in einem guten Kom­pro­miss zuein­an­der ste­hen, also wo die Flö­he nicht mehr raus­hüp­fen wol­len bzw. kön­nen.

Inter­es­sant ist, dass der Algo­rith­mus mit einer sehr ein­fa­chen For­mel kom­ple­xe Mus­ter erzeugt, und das ganz ohne kom­ple­xe Zah­len.

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